Definit Positif dan Definit Negatif

2. Definit Positif dan Definit Negatif

Pada kegiatan 3 bagian 1 Anda telah mempelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c.
Beberapa sketsa grafik fungsi kuadrat yang mungkin jika ditinjau dari nilai a dan diskriminan D = b – 4ac telah Anda ketahui pada Gambar 3-8. Simaklah kembali Gambar 3-8a dan Gambar 3-8d. Selanjutnya perhatikanlah penjelasan di bawah ini.

- -

Untuk Gambar 3-8a Pada Gambar 3-8a, parabola terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu x untuk setiap nilai x R. Hal ini terjadi apabila nilai a>0 dan D<0. Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk ax + bx + c disebut definit positif. Dengan demikian, syarat definit positif adalah a>0 dan D<0. Untuk Gambar 3-8d Pada Gambar 3-8d, parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu x untuk setiap nilai x R. Hal ini terjadi apabila nilai a<0 dan D<0. Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk ax + bx + c <0 untuk setiap x R, atau bentuk ax + bx + c disebut definit negatif. Dengan demikian, syarat definit negatif adalah a<0 dan D<0.

Agar Anda memahami dan terampil menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan definit positif dan definit negatif, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Selidiki apakah fungsi kuadrat dengan persamaan f(x) = x + x + 5 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidah kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x + x + 5, berarti a= 1, b = 1, dan c = 5.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (1) – 4(1)(5) = 1-20 = -19.
Karena a = 1 dan D = -19 ini berarti a>0 dan D<0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = x + x + 5 termasuk definit positif.
Mudah bukan? Baiklah, selanjutnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2:
Periksa apakah fungsi kuadrat dengan persamaam f(x) = -x – 4x – 6 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -x – 4x – 6, berarti a = -1, b= -4, dan c = -6.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (-4) – 4(-1)(-6) = 16-24 = -8.
Karena a = -1 dan D = -8 ini berarti a<0 dan D<0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = -x – 4x – 6 termasuk definit negatif.
Sudah pahamkah Anda setelah memcermati contoh 1 dan 2 di atas? Baiklah, untuk lebih pahamnya perhatikan contoh 3 berikut.

Contoh 3:
Periksa apakah fungsi kuadrat dengan persamaam f(x) = -2x + 4x termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -2x + 4x, berarti a= -2, b = 4, dan c = 0.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (4) – 4(-2)(0) = 16 + 0 = 16.
Karena a = -1 dan D = 16 ini berarti a<0 dan D>0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = -2x + 4x tidak definit positif dan tidak definit negatif.
Bagaimana, tidak sulit bukan? Anda sudah paham? Bagus! Apabila belum paham, perhatikan contoh 4 di bawah ini.
Contoh 4:
Tentukan batas-batas nilai p, agar fungsi f(x) = x – 4x + m definit positif!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x – 4x + m, berarti a= 1, b= -4, c = m
Syarat agar fungsi kuadrat f definit adalah a>0 dan D<0.

(i)	a>0, syarat ini sudah dipenuhi karena a = 1
(ii)	D<0, maka: b – 4ac (-4) – 4(1)(m) 16 – 4m 16 16 16/4 4 m < 0 < 0 < 0 < 0+4m < 4m < m < m > 4

Karena syarat (i) sudah dipenuhi, maka berdasarkan syarat (ii) batas-batas nilai m adalah m>4.
Setelah mempelajari contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk menambah pemahaman Anda, cermati contoh 5 di bawah ini.
Contoh 5:
Tentukan batas nilai k, agar fungsi f(x) = (k-1)x – 2kx + (k-2) definit negatif!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x – 2kx + (k-2), berarti a = (k-1), b= -2k, dan c = (k-2).
Syarat agar fungsi kuadrat f definit negatif adalah a<0 dan D<0.

(i)	a<0, maka (k-1) k-1 k k < 0 < 0 < 0 + 1 < 1
(ii)	D<0, maka: b – 4ac (-2k) – 4(k-1)(k-2) 4k – 4(k-2k-k+2) 4k – 4(k – 3k + 2) 4k – 4k + 12k – 8 12k – 8 12k 12k k k < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 + 8 < 8 < 8/12 < 2/3

Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisannya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada Gambar 3-16 di bawah ini.

Gambar 3-16

Berdasarkan Gambar 3-16 batas nilai k yang memenuhi adalah k <
Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x – 2kx + (k-2) definit negatif adalah k <
Setelah menyimak beberapa contoh di atas, apakah Anda paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.

1. 2. 3.

Selidiki masing-masing fungsi kuadrat di bawah ini, apakah definitif positif, definitif negatif atau tidak kedua-duanya. a). f(x) = 2x + 3x + 4. b). f(x) = -x + 2x – 5. c). f(x) = x – x – 2. Tentukan batas-batas nilai m, agar fungsi kuadrat (f(x) = -x – 8x + m definit negatif! Tentukan batas-batas nilai k, agar fungsi kuadrat: f(x) = (k + 1)x + (2k+1)x + (k+2) definit positif.

Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas, jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, seperti inikah jawaban Anda?

1.	a. b. c.	Fungsi kuadrat f(x) = 2x + 3x + 4, berarti a = 2, b = 3, dan c = 4. Maka diskriminan D = b – 4ac = (3) – 4(2)(4) = 9-32 = -23. Karena a = 2 dan D = -23 ini, berarti a>0 dan D<0 sehingga fungsi kuadrat f(x) = 2x + 3x + 4 termasuk definit positif. Fungsi kuadrat f(x) = -x + 2x – 5, berarti a = -1, b= 2, dan c = -5. Maka diskriminan D = b – 4ac = (2) – 4(-1)(-5) = 4-20 = -16. Karena a = -1 dan D = -16, ini berarti a<0 dan D<0, sehingga fungsi kuadrat f(x) = -x + 2x – 5 termasuk definit negatif. Fungsi kuadrat f(x) = x – x – 2, berarti a = 1, b = -1, dan c = -2. Maka diskriminan D = b – 4ac = (-1) – 4(1)(-2) = 1+8 = 9. Karena a=1 dan D = 9, ini berarti a>0 dan D>0, sehingga fungsi kuadrat f(x) = x – x – 2 tidak termasuk definit positif maupun negatif.
2.	Fungsi kuadrat f(x) = -x – 8x + m, berarti a = -1, b = -8, dan c = m. Syarat agar fungsi kuadrat f definit adalah a<0 dan D<0. (i) a<0, syarat ini sudah dipenuhi karena a = -1 (ii) D<0, maka: b – 4ac (-8) – 4(-1)(m) 64 + 4m 4m 4m m m < 0 < 0 < 0 < 0-64 < -64 < -64/4 < -16 Karena syarat (i) sudah dipenuhi, maka berdasarkan syarat (ii) batas-batas nilai m adalah m <-16.
3.	Fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x + (2k+1)x + (k+2), berarti a= (k+1), b = (ak+1), dan c = (k+2). Syarat agar fungsi f definit positif adalah a>0 dan D<0. (i) a<0, maka (k+1) k+1 k k > 0 > 0 > 0 – 1 > -1 (ii) D<0, maka: b – 4ac (2k+1) – 4(k+1)(k+2) 4k+4k+1 – 4(k+2k+k+2) 4k+4k+1 – 4(k+3k+2) 4k+4k+1 – 4k-12k-8 -8k-7 -7 -7 8k k < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 + 8k < 8k > -7 > -7/8 Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisanya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada Gambar 3-17 di bawah ini. Gambar 3-17 Berdasarkan Gambar 3-17 batas nilai k yang memenuhi adalah k> Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x + (2k+1)x + (k+2) definit positif adalah k > Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Jika Anda mengalami kesulitan diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan kepada guru bina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawab belum benar segeralah samakan pekerjaan Anda dengan jawaban di atas.