Penggunaan Diskriminan

6. Penggunaan Diskriminan

Dalam kegiatan 1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 (a 0) dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc, yaitu:

Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b – 4ac.
Bentuk b–4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat ax+bx+c=0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b – 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = b – 4ac , dikarenakan nilai D = b – 4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
Untuk lebih jelasnya, mairlah kita perhatikan penjelasan materi di bawah ini.
Untuk memeriksa hubungan antara jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b – 4ac, simaklah kembali akar-akar persamaan kuadrat pada contoh 1 – 4 yang penyelesaiannya dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) dan telah Anda pelajari pada materi kegiatan 1 bagian b, yaitu:

*)

Persamaan kuadrat pada contoh 1 yaitu x = 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 = -2 atau x2 = -3. Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 adalah a = 1, b = 5, dan c = 6, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 5 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 = 1  Ternyata bahwa: D>0 dan D = 1 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

*)

Persamaan kuadrat pada contoh 2 yaitu 2x – 4x + 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 = atau x2 = Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (tak terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 adalah a = 2, b = -4, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (-4) – 4.2.1 = 16 – 8 = 8 Ternyata bahwa D>0 dan D=8 tidak berbentuk kuadrat sempurna.

*)

Persamaan kuadrat pada contoh 3 yaitu x – 4x + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 = 1 atau x2 = 2 Dikatakan kedua akarnya sama (kembar), real dan rasional. Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x – 4x + 4 = 0 adalah a = 1, b = -4, dan c = 4, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (-4) – 4.1.4 = 16 – 16 = 0 Ternyata bahwa D=0

*)

Persamaan kuadrat pada contoh 4 yaitu 3x + 2x + 1 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 adalah a = 3, b = 2, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 2 – 4.3.1 = 4 – 12 = -8 Ternyata bahwa D<0

Berdasarkan penjelasan di atas dapat kita ketahui bahwa ada hubungan antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya yaitu D = b – 4ac. Jadi nilai diskriminan D= b – 4ac sangat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, yaitu:

1. 2. 3.

Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional. Jika D= 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional. Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner)

Selanjutnya, untuk mengetahui jenis-jenis akar persamaan kuadrat (real atau tidak, sama atau tidak, rasional atau irasional) kita tidak perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, tetapi cukup menghitung nilai diskriminan D = b – 4ac.
Agar Anda memahami dan terampil menggunakan perhitungan nilai diskriminan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini!
Contoh 1:
Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut!
a.  x – 10x + 16 = 0
b.  3x – 36 = 0
c.  x + 6x + 9 = 0
d.  -2x + 3x – 6 = 0
Jawab:

a.	x – 10x + 16 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 16. Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (-10) – 4 . 1 .16 = 100 – 64 = 36 Karena D = 36>0 dan D = 36 = 6 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x – 10x +16 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.
b.	3x – 36 = 0, berarti a = 3, b = 0, dan c = -36. Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 0 – 4. 3. (-36) = 0 + 432 = 432 Karena D = 432>0 dan D = 432 tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 3x – 36 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional.
c.	x + 6x = 9 = 0, berarti a = 1, b = 6, dan c = 9. Nilai diskriminanya adalah: D = b – 4ac = 6 – 4 . 19 = 36 – 36 = 0 Karena D = 0, maka persamaan kuadrat x + 6x + 9 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional.
d.	-2x + 3x – 6 = 0, berarti a = -2, b = 3, dan c = -6 Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 3 – 4. (-2).(-6) = 9 – 48 = -39 Karena D = -39 maka persamaan kuadrat –2x + 3x – 6 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner).

Bagaimana, mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2.
Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 2x – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)!
Jawab:
2x – 4x + p = 0, berarti a = 2, b = -4, dan c = p.
Nilai diskriminannya:

D	= b – 4ac = (-4) – 4. 2.p = 16 – 8p

Agar persamaan kuadrat 2x – 4c + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka:

	D	= 0
	16 – 8P	= 0
	16	= 0 + 8P
	16	= 8p
	p	= 16/8
	p	= 2

Jadi persamaan kuadrat 2x – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai p = 2.
Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda sudah paham? Apabila masih belum jelas, perhatikan contoh 3 di bawah ini.
Contoh 3.
Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat x + (m+2)x + m = 0, dengan m R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan!
Jawab:
x + (m+2) x + m = 0, berarti a = 1, b = (m + 2), dan c = m.
Nilai diskriminannya adalah:

D	= b – 4ac = (m+2) – 4. 1. m = m + 4m + 4 – 4m = m + 4

Untuk setiap m R maka m selalu positif atau m > 0, sehingga nilai D=m+4 juga selalu positif atau D = m + 4 > 0. oleh karena D >0 untuk setiap m R maka persamaan kuadrat x + (m + 2)x + m= 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.
Nah, setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan di bawah ini.

1.	Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut! a. x + x – 20 = 0 b. 2x – 2x – 1 = 0 c. x – 10x + 25 = 0 d. x – x + 2 = 0
2.	Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat 2x + (p + 4)x + p = 0, dengan p R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan!
3.	Tentukan nilai n agar persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)!

Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas jangan membaca jawabannya terlebih dahulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1.

a. x + x – 20 = 0, berarti a = 1, b = 1, dan c = -20 Nilai diskriminannya:   D = b – 4ac = 1 – 4. 1. (-20) = 1 + 80 = 81   Karena D = 81 > 0 dan D = 81 = 9 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x + x – 20 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.   b. 2x – 2x – 1 = 0, berarti a = 2, b = -2, dan c = -1 Nilai diskriminannya:   D = b – 4ac = (-2) – 4. 2. (-1) = 4 + 8 = 12   Karena D = 12 > 0 dan D = 12 tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2x – 2x – 1 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional. c. x – 10x + 25 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 25 Nilai diskriminannya:   D = b – 4ac = (-10) – 4. 1. 25 = 100 + 100 = 0   Karena D = 0, maka persamaan kuadrat x – 10x + 25 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) real dan rasional. d. x – x + 2 = 0, berarti a = 1, b = -1, dan c = 2 Nilai diskriminannya:   D = b – 4ac = (-1) – 4. 1. 2 = 1 – 8 = -7   Karena D = -7<0 maka persamaan kuadrat x – x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner).

2.	2x + (p+4)x + p = 0, berarti a = 2, b = (p+4), dan c = p Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (p+4) – 4. 2. p = p + 8p + 16 – 8p = p + 16 Untuk setiap p R maka p selalu positif atau p > 0, sehingga nilai D = p + 16 juga selalu positif atau D = p + 16 > 0. Oleh karena D>0 untuk setiap p R maka persamaan kuadrat 2x + (p + 4)x + p = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.
3.	x + nx + 36 = 0, berarti a = 1, b = n, dan c = 36. D = b – 4ac = n – 4. 1. 36 = n – 144 Agar persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka: D n – 144 n n n n = 0 = 0 = 0 + 144 = 144 = ± = ± 12 n = 12 atau n = -12 Jadi persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai n = 12 atau n = -12.