Kaitan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

3. Kaitan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Pada kegiatan 3 bagian 1b, telah Anda pelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Salah satu langkahnya adalah menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c dengan sumbu x. Pada prinsipnya, titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c dapat diperoleh dengan cara menentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan nilai y = 0. Hal ini berarti proses menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0. Dengan demikian, kondisi grafik dan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dapat dipelajari dengan mengkaji dan menentukan sifat-sifat dari persamaan kuadrat. Sifat inilah yang menunjukkan kaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Apabila ditinjau berdasarkan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax + bx + c terhadap sumbu x secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan itu ditentukan oleh tanda-tanda dari nilai a dan tanda-tanda dari nilai diskriminan D = b – 4ac. Keenam kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax + bx + c terhadap sumbu x dapat Anda lihat kembali pada Gambar 3-8.
Berdasarkan Gambar 3-8 dapat Anda ketahui hal-hal yang merupakan keterkaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut:
Gambar 3-8a
Apabila nilai a>0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8b
Apabila nilai a>0 dan D=0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8c
Apabila nilai a>0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
Gambar 3-8d
Apabila nilai a<0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8e
Apabila nilai a<0 dan D = 0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan sama (kembar), sehingga grafik fungsi kuadrat y=f(x)=ax+bx+c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8f
Apabila nilai a<0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat Anda ketahui bahwa terdapat keterkaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x)= x + 2x + 5 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x + 2x + 5, berarti a = 1, b = 2, dan c = 5.
Maka D= b – 4ac = (2) – 4(1)(5) = 4-20 = -16.
Karena a = 1 dan D = -16, ini berarti a>0 dan D<0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
Bagaimana, mudah bukan? Sudah pahamkah Anda? Baiklah, untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2:
Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x)= -x + 4x terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x, berarti a = -1, b = 4, dan c= 0.
Maka D = b – 4ac = (4) – 4(-1)(0) = 16-0 = 16
Karena a = -1 dan D = 16, ini berarti a<0 dan D>0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
Tidak sulit bukan? Apakah Anda paham? Baiklah, agar lebih paham lagi, perhatikan contoh 3 di bawah ini.
Contoh 3:
Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = x – 8x + 16 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x – 8x + 16, berarti a = 1, b = -8, dan c = 16.
Maka D = b – 4ac= (-8) – 4(1)(16) = 64 – 64 = 0
Karena a = 1 dan D = 0, ini berarti a>0 dan D=0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan menyinggung sumbu x.
Nah, setelah memperhatikan beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.

1.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x – x – 1 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
2.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 6x – 9 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
3.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = -3x – 1 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu

Bagaimana, tidak sulit bukan? Sebelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1.	Fungsi kuadrat f(x) = 2x – x – 1, berarti a = 2, b = -1, dan c= -1. Maka D = b – 4ac = (-1) – 4(2)(-1) = 1+8 = 9 Karena a = 2 dan D = 9, ini berarti a>0 dan D>0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2.	Fungsi kuadrat f(x)= -x + bx – 9, berarti a = -1, b = 6, dan c = -9. Maka D = b – 4ac= (6) – 4(-1)(-9) = 36 – 36 = 0 Karena a = -1 dan D = 0, ini berarti a<0 dan D=0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu x.
3.	Fungsi kuadrat f(x) = -3x – 1, berarti a = -3, b = 0, dan c= -1. Maka D = b – 4ac = (0) – 4(-3)(-1)= 0-12 = -12. Karena a = -3 dan D = -12, ini berarti a<0 dan D<0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.